Question

【题目】矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点．如图，在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两个动点（在的左侧），且轴，以为边画矩形，原点在边上．

（1）如图1，当矩形为正方形时，求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标．

（2）如图2，在点，的运动过程中，连结交抛物线于点．

①求证：点为矩形的奇特点；

②连结，若，抛物线上的点为矩形的另一奇特点，求经过，，三点的圆的半径．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①见解析；②半径为

【解析】

（1）根据抛物线的解析式，把C点左边表示成，则，当矩形为正方形时，根据解出a，即可得到答案.

（2）①先把矩形在第一象限上的奇特点找出来，证明可表示成，再结合抛物线的解析式，可证明.

②根据是奇特点，证，由对称性得到由对称性，，D得到，，，四点共圆，且为直径，根据三角函数可求出半径.

（1）设，则，

因为是矩形，

易证，，

当矩形为正方形时，，

解得，

∴，，，

∴易得矩形在第一象限内的奇特点的坐标为，．

（2）①证明：设，则，

∴矩形在第一象限上的奇特点为，

又在抛物线上，

∴为与抛物线的交点，

即：点为矩形的奇特点．

②由是奇特点，设，．

可以得到：，

，

∴，

由对称性，，

∴，，，四点共圆，且为直径，

∴，

∴，

∴，即半径为．