Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），BE+CF=EF．上述结论中始终正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等（△APF≌△BPE，△APE≌△CPF），根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．

解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，

∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠1=∠2，
在△APE与△CPF中，

∠3=∠4 AP=CP ∠1=∠2

，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可证△APF≌△BPE，
①由△APE≌△CPF得到AE=CF，故①正确；
②由△APE≌△CPF得到PE=PF，
∵∠EPF是直角，
∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确；
③由△APE≌△CPF得到S_△APE=S_△CPF，
则S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△APF=

1

2

S_△ABC，故③正确；
④∵△APF≌△BPE，△APE≌△CPF，
∴BE=AF，CF=AE，
∴BE+CF=AF+AE＞EF，∴④错误；
故选C．

点评：此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．