Question

【题目】如图，在矩形中，把点沿对折，使点落在上的点，已知，．

（1）求点的坐标；

（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过点，，且直线是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；

（3）已知直线与（2）中的抛物线交于，两点，点的坐标为．求证：为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，已知点，，则，两点之间的距离为）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）根据矩形的性质可得∠AOC=90°，然后由折叠的性质可知AF=AD=10，根据勾股定理求出OF的长，即可求出点F的坐标；

（2）根据抛物线过点O和点F，设抛物线的解析式为，然后联立直线，根据该直线与抛物线仅有一个交点，令△=0即可求出a的值，从而求出结论；

（3）联立方程组，设，，，根据根与系数的关系可得则，，再根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式代入并化简即可．

解：（1）∵四边形AOCD为矩形

∴∠AOC=90°

由折叠的性质可知AF=AD=10，

在Rt△OAF中，OF=

∴．

（2）根据题意，设抛物线的解析式为，联立直线得：．

则由得．

故抛物线的方程为．

（3）由得．

所以设，，，如下图所示

则，

而，．

从而，

即为定值4．