Question

【题目】如图，在中，．

（1）尺规作图：以为直径作，分别交和于点和．(保留作图痕迹，不写做法)

（2）过作，垂足为

①求证：为的切线．

②连接，若，，求的半径长．

Answer 1

【答案】（1）画图见解析；（2）①证明见解析，②2．

【解析】

（1）根据题意，以为直径作，分别交和于点和作图即可．

（2）①作AB的中点O，连接OE、AE，根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，即可得，，再根据余角的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而得出，即可得证为的切线．②过点O作，根据垂径定理得到D为AF的中点，设圆的半径为r，表示出AF，AD以及HD，在直角三角形OAD中，表示出OD2，在直角三角形ODH中，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可．

（1）如图所示，即为所求．

（2）①作AB的中点O，连接OE、AE

∵

∴

∵AB是的直径

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

∵OA、OE是圆的半径

∴

∴

∴

∴为的切线

②连接，过点O作

∵AB是圆O的直径

∵EH是圆O的切线

∴

∵OA、OF为圆的半径

∴

∵

∴

设圆的半径为r，则

∴

∴

在Rt△AOD中，根据勾股定理得

在Rt△ODH中，根据勾股定理得

即

解得（舍去）或

则圆的半径为2．