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【题目】(1)问题发现

如图1,在OABOCD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:

的值为   

②∠AMB的度数为   

(2)类比探究

如图2,在OABOCD中,∠AOB=COD=90°,OAB=OCD=30°,连接ACBD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;

(3)拓展延伸

在(2)的条件下,将OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

【答案】(1)1;40°;(2),90°;(3)AC的长为32

【解析】

(1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值为1;

②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理得:∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;

(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则,由全等三角形的性质得∠AMB的度数;

(3)正确画图形,当点C与点M重合时,有两种情况:如图3和4,同理可得:△AOC∽△BOD,则∠AMB=90°,,可得AC的长.

(1)问题发现:

①如图1,

∵∠AOB=∠COD=40°,

∴∠COA=∠DOB,

∵OC=OD,OA=OB,

∴△COA≌△DOB(SAS),

∴AC=BD,

②∵△COA≌△DOB,

∴∠CAO=∠DBO,

∵∠AOB=40°,

∴∠OAB+∠ABO=140°,

在△AMB中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°,

(2)类比探究:

如图2,,∠AMB=90°,理由是:

Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,

同理得:

∵∠AOB=∠COD=90°,

∴∠AOC=∠BOD,

∴△AOC∽△BOD,

,∠CAO=∠DBO,

在△AMB中,∠AMB=180°-(∠MAB+∠ABM)=180°-(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;

(3)拓展延伸:

①点C与点M重合时,如图3,

同理得:△AOC∽△BOD,

∴∠AMB=90°,

设BD=x,则AC=x,

Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,

∴CD=2,BC=x-2,

Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=

∴AB=2OB=2

在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2

(x)2+(x2)2=(2)2

x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

x1=3,x2=-2,

∴AC=3

②点C与点M重合时,如图4,

同理得:∠AMB=90°,

设BD=x,则AC=x,

在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2

(x)2+(x+2)2=(2)2.

x2+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

x1=-3,x2=2,

∴AC=2;.

综上所述,AC的长为3或2

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则正确的配对是( )

A.-IV,②-II,③-I,④-IIIB.-IV -I,③-II,④-I

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