【题目】(1)问题发现
如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①的值为 ;
②∠AMB的度数为 .
(2)类比探究
如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
【答案】(1)①1;②40°;(2),90°;(3)AC的长为3或2.
【解析】
(1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值为1;
②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理得:∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;
(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则,由全等三角形的性质得∠AMB的度数;
(3)正确画图形,当点C与点M重合时,有两种情况:如图3和4,同理可得:△AOC∽△BOD,则∠AMB=90°,,可得AC的长.
(1)问题发现:
①如图1,
∵∠AOB=∠COD=40°,
∴∠COA=∠DOB,
∵OC=OD,OA=OB,
∴△COA≌△DOB(SAS),
∴AC=BD,
∴
②∵△COA≌△DOB,
∴∠CAO=∠DBO,
∵∠AOB=40°,
∴∠OAB+∠ABO=140°,
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°,
(2)类比探究:
如图2,,∠AMB=90°,理由是:
Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,
∴,
同理得:,
∴,
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD,
∴ ,∠CAO=∠DBO,
在△AMB中,∠AMB=180°-(∠MAB+∠ABM)=180°-(∠OAB+∠ABM+∠DBO)=90°;
(3)拓展延伸:
①点C与点M重合时,如图3,
同理得:△AOC∽△BOD,
∴∠AMB=90°,,
设BD=x,则AC=x,
Rt△COD中,∠OCD=30°,OD=1,
∴CD=2,BC=x-2,
Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=,
∴AB=2OB=2,
在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,
(x)2+(x2)2=(2)2,
x2-x-6=0,
(x-3)(x+2)=0,
x1=3,x2=-2,
∴AC=3;
②点C与点M重合时,如图4,
同理得:∠AMB=90°,,
设BD=x,则AC=x,
在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,
(x)2+(x+2)2=(2)2.
x2+x-6=0,
(x+3)(x-2)=0,
x1=-3,x2=2,
∴AC=2;.
综上所述,AC的长为3或2.
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【题目】如图1所示,A,B两地相距60km,甲、乙分别从A,B两地出发,相向而行,图2中的,分别表示甲、乙离B地的距离y(km)与甲出发后所用的时间x(h)的函数关系.以下结论正确的是( )
A.甲的速度为20km/h
B.甲和乙同时出发
C.甲出发1.4h时与乙相遇
D.乙出发3.5h时到达A地
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【题目】尺规作图要求: I、过直线外一点作这条直线的垂线: II、 作线段的垂直平分线;III、过直线上一点作这条直线的垂线: IV、 作角的平分线.如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:
则正确的配对是( )
A.①-IV,②-II,③-I,④-IIIB.①-IV, ②-I,③-II,④-I
C.①-II,②-IV,③-1II,④-ID.①-IV,②-I,③-II,④-III
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【题目】如图,已知直线,直线,与相交于点,,分别与轴相交于点.
(1)求点P的坐标.
(2)若,求x的取值范围.
(3)点为x轴上的一个动点,过作x轴的垂线分别交和于点,当EF=3时,求m的值.
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【题目】某校随机抽取部分学生,对“学习习惯”进行问卷调查.
设计的问题:对自己做错的题目进行整理、分析、改正;
答案选项为:A:很少,B:有时,C:常常,D:总是;
将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下:
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)该调查的样本容量为 ,a= %,b= %,“常常”对应扇形的圆心角为 ;
(2)请你补全条形统计图;
(3)若该校有3200名学生,请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a<0)交x轴于A,B两点(B在A左侧),交y轴于点C,且CO=AO,分别以BC,AC为边向外做正方形BCDE,正方形ACGH,记它们的面积分别为S1,S2,△ABC面积记为S3,当S1+S2=6S3时,b的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,E是AD上的一个动点
(1)如图 1,连接 BD,O 是对角线 BD 的中点,连接 OE.当 OE=DE 时,求 AE 的长;
(2)如图 2,连接 BE,EC,过点 E 作 EF⊥EC 交 AB 于点 F,连接 CF,与 BE 交于点 G.当BE 平分∠ABC 时,求 BG 的长;
(3)如图 3,连接 EC,点 H 在 CD 上,将矩形 ABCD 沿直线 EH 折叠,折叠后点 D 落在 EC上的点 D′处,过点 D′作 D′N⊥AD 于点 N,与 EH 交于点 M,且 AE=1.的值.
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【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4,BC=6点D在底边BC上,且∠DAC=∠ACD,将△ACD沿着AD所在直线翻折,使得点C落到点E处,联结BE,那么BE的长为______.
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