Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E是AD上的一个动点

（1）如图 1，连接 BD，O 是对角线 BD 的中点，连接 OE．当 OE＝DE 时，求 AE 的长；

（2）如图 2，连接 BE，EC，过点 E 作 EF⊥EC 交 AB 于点 F，连接 CF，与 BE 交于点 G．当BE 平分∠ABC 时，求 BG 的长；

（3）如图 3，连接 EC，点 H 在 CD 上，将矩形 ABCD 沿直线 EH 折叠，折叠后点 D 落在 EC上的点 D′处，过点 D′作 D′N⊥AD 于点 N，与 EH 交于点 M，且 AE＝1．的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先求出，进而求出，再判断，即可得出结论；

（2）先判断出,进而求出，再判断出,进而求得 ,最后利用勾股定理即可得出结论；

（3）先求出，再求出，根据勾股定理求出,,再判断出，,列出比例式，并根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，即可得出结论；

解：（1）如图 1，连接，

在矩形中， ，

在中，根据勾股定理得

∵是的中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴

（2）∵平分

∴，

∵

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴ ，

∴，

∴，

如图 2，过点作于，

∴，

∴，

，，

∴，

∴

设，则

解得：

∴，

在中，

（3）如图 3，在矩形中，，

∵

∴，

∵ ，

∴在中，由勾股定理可得：，

由折叠知， ，

∴，

设，则

在中，根据勾股定理得，

解得：

∴

∵

∴，

∵

∴ ，

∵，

∴，

∴