Question

【题目】菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝60°

（1）如图1，当点E是CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；

（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，且∠EAB＝15°，求点F到BC的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点F到BC的距离为3．

【解析】

（1）连接AC，根据题意分析得出∠BAE＝∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF，最后通过求出△BAE△CAF来证明结论即可；

（2）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，利用直角三角形性质求出AG、BG的长由此进一步得出BE的长，最后在Rt△CHF中利用三角函数进一步求出FH的长即可求出答案.

（1）证明：如图1，连接AC，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，AB∥CD，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD=60°，

∴∠B=∠ACF，

又∵∠BAC＝∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

∵，

∴△BAE△CAF，

∴BE＝CF；

（2）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，

∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，

∴∠AEB＝45°，

在Rt△AGB中，

∵∠ABC＝60°，AB＝4，

∴BG＝AB＝2，AG＝BG＝2，

在Rt△AEG中，

∵∠AEG＝∠EAG＝45°，

∴AG＝GE＝2，

∴EB＝EGBG＝22，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB∥CD，AB=BC，

∴∠ABC=∠ECF=60°，

在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，

∴∠ACF=∠ACB+∠ECF=120°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABE=120°，

∴∠ACF=∠ABE，

∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=60°，∠BAC=∠CAF+∠BAF=60°，

∴∠EAB=∠FAC，

在△AEB与△AFC中，

∵∠EAB=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠ACF，

∴△AEB△AFC，

∴AE＝AF，EB＝CF＝22，

在Rt△CHF中，∵∠HCF＝180°﹣∠BCD＝60°，CF＝22，

∴FH＝CFsin60°＝(22)＝3．

∴点F到BC的距离为3．