Question

【题目】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有（　　）

A.①②③④B.①②③⑤C.②③④⑤D.①②④⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据开口方向、对称轴、与y轴的交点可判断①；根据顶点坐标为（﹣2，﹣9a），求出b、c与a的关系，可判断②和③；先求出抛物线与x轴的交点，可判断④；根据根与系数的关系可判断⑤．

解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，

∴abc＜0，所以①结论正确；

∵抛物线的顶点坐标(-2，-9a)，

∴，，

∴b=4a，c=-5a，

∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax-5a，

∴4a+2b+c=4a+8a-5a=7a＞0，所以②结论正确，

5a-b+c=5a-4a-5a=-4a＜0，故③结论正确，

对于方程ax2+4ax-5a=0，

∵a＞0，

∴x2+4x-5=0，

解得x1=-5，x2=1，

∴抛物线y=ax2+4ax-5a交x轴于(-5，0)，(1，0)，

∴若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1，故结论④正确，

若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x1，x2，则，可得x1+x2=-4，设方程ax2+bx+c=-1的两根分别为x3，x4，则，可得x3+x4=-4，所以这四个根的和为-8，故结论⑤正确．

故选：D．