【题目】如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,,直线与抛物线交于点,,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是线段上的一动点(不与,重合),过点作轴的垂线,交轴于点,交抛物线于点,若,线段是否存在最大值?若存在,请求出最大值,若不存在,请说明理由;
(3)若轴上存在一点,使得时,求出点的坐标.
【答案】(1);(2)存在,有最大值为;(3)点的坐标为或.
【解析】
(1)确定抛物线解析式,关键是要确定抛物线经过的两点坐标,点是抛物线与轴的交点,且位于轴上,因此易求出点的坐标,再根据,可求出点,的坐标,然后再将坐标代入两点式即可得解;
(2)求出抛物线解析式后,利用,先求出点的横坐标,代入抛物线求出点的纵坐标,然后求出直线的解析式,最后再利用两函数解析式的纵坐标之差表示线段长,进而在取值范围内求最值即可;
(3)根据(2)中的直线解析式易知,由可知,则直线上下两侧产生和的角,再利用锐角三角函数求出线段长,然后通过线段长转化为坐标即可.
解:(1)∵抛物线的解析式为,当时,,
∴.
∵,
∴点,点.
设抛物线的解析式为,可得,
将点代入可得,
∴抛物线解析式为;
(2)存在最大值.
如解图①,过点作轴于点,则,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴点.
当时,,
∴点.
设直线BE的解析式为
将点、代入解析式中得,
,解得.
∴直线的解析式为.
设点的坐标为,
则点的坐标为,
∴
∴当时,有最大值,最大值为;
(3)分两种情况:①如解图①,当直线在直线的上方时,
∵点的坐标为,
∴.
在直线中,当时,,
∴,
∴,
∴.
∴,
∴,
∴,
∴,
∴点的坐标为;
②如解图②,当直线在的下方时,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴点的坐标为.
综上所述,点的坐标为或.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(﹣2,﹣9a),下列结论:①abc<0;②4a+2b+c>0;③5a﹣b+c=0;④若方程a(x+5)(x﹣1)=﹣1有两个根x1和x2,且x1<x2,则﹣5<x1<x2<1;⑤若方程|ax2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为﹣8,其中正确的结论有( )
A.①②③④B.①②③⑤C.②③④⑤D.①②④⑤
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【题目】下列说法正确的是( )
A.25人中至少有3人的出生月份相同
B.任意抛掷一枚均匀的1元硬币,若上一次正面朝上,则下一次一定反面朝上
C.天气预报说明天降雨的概率为10%,则明天一定是晴天
D.任意抛掷一枚均匀的骰子,掷出的点数小于3的概率是
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【题目】如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,1)和C(4,3)两点,与x轴交于点D、点E,过点B和点C的直线与x轴交于点A.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在x轴上有一动点P,随着点P的移动,存在点P使△PBC是直角三角形,请你求出点P的坐标;
(3)若动点P从A点出发,在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动,同时动点Q也从A点出发,以每秒a个单位的速度沿射线AC运动,是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似?若存在,直接写出a的值;若不存在,说明理由.
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【题目】某商场同时购进甲、乙两种商品共100件,其进价和售价如下表:
商品名称 | 甲 | 乙 |
进价(元/件) | 40 | 90 |
售价(元/件) | 60 | 120 |
设其中甲种商品购进x件,商场售完这100件商品的总利润为y元.
(Ⅰ)写出y关于x的函数关系式;
(Ⅱ)该商场计划最多投入8000元用于购买这两种商品,
①至少要购进多少件甲商品?
②若销售完这些商品,则商场可获得的最大利润是多少元?
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【题目】如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE,若AF=1,四边形ABED的面积为6,则∠EBF的余弦值是( )
A.B.C.D.
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【题目】对于长度为4的线段AB(图1),小若用尺规进行如下操作(图2)根据作图痕迹,有下列说法:①△ABC是等腰三角形;②△ABC是直角三角形;③△ABC是等边三角形;④弧AD的长度为,⑤△ABC是直角三角形的依据是直径所对的圆周角为直角,则其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA、OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0,3),∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为____________.
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【题目】如图,已知直线的函数表达式为,它与轴、轴的交点分别为两点.
(1)若的半径为2,说明直线与的位置关系;
(2)若的半径为2,经过点且与轴相切于点,求圆心的坐标;
(3)若的内切圆圆心是点,外接圆圆心是点,请直接写出的长度.
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