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【题目】如图,抛物线轴交于两点,与轴交于点,直线与抛物线交于点,与轴交于点

1)求抛物线的解析式;

2)点是线段上的一动点(不与重合),过点轴的垂线,交轴于点,交抛物线于点,若,线段是否存在最大值?若存在,请求出最大值,若不存在,请说明理由;

3)若轴上存在一点,使得时,求出点的坐标.

【答案】1;(2)存在,有最大值为;(3)点的坐标为

【解析】

1)确定抛物线解析式,关键是要确定抛物线经过的两点坐标,点是抛物线与轴的交点,且位于轴上,因此易求出点的坐标,再根据,可求出点的坐标,然后再将坐标代入两点式即可得解;

2)求出抛物线解析式后,利用,先求出点的横坐标,代入抛物线求出点的纵坐标,然后求出直线的解析式,最后再利用两函数解析式的纵坐标之差表示线段长,进而在取值范围内求最值即可;

3)根据(2)中的直线解析式易知,由可知,则直线上下两侧产生的角,再利用锐角三角函数求出线段长,然后通过线段长转化为坐标即可.

解:(1)∵抛物线的解析式为,当时,

∴点,点

设抛物线的解析式为,可得

将点代入可得

∴抛物线解析式为

2存在最大值.

如解图①,过点轴于点,则

∴点

时,

∴点

设直线BE的解析式为

将点代入解析式中得,

,解得

∴直线的解析式为

设点的坐标为

则点的坐标为

∴当时,有最大值,最大值为

3)分两种情况:①如解图①,当直线在直线的上方时,

∵点的坐标为

在直线中,当时,

∴点的坐标为

②如解图②,当直线的下方时,

∴点的坐标为

综上所述,点的坐标为

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