Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，4），B（5，0），C（0，﹣2）．在第一象限找一点D，使四边形AOBD成为平行四边形，

（1）点D的坐标是；
（2）连接OD，线段OD、AB的关系是；
（3）若点P在线段OD上，且使PC+PB最小，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）（8，4）
（2）OD与AB互相垂直平分
（3）

解：连接AC交OD于点P，点P即是所求点，

设经过点O、D的函数表达式为y=k1x+b，则有方程4=8k1，

∴k1= ，

∴直线OD的函数表达式为y= x；

设过点C、A的一次函数表达式为y=k2x+b，

则有方程组 ，解得 ，

∴过点C、A的一次函数表达式为y=2x﹣2，

解方程组 得 ，

∴点P（ ， ）．

【解析】解：（1.）如图所示，D（8，4）；
所以答案是：（8，4）；
（2.）∵A（3，4），B（5，0），
∴OA= =5，OB=5，
∴AOBD是菱形，
∴OD与AB互相垂直平分；
所以答案是：OD与AB互相垂直平分；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质和轴对称-最短路线问题的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．