Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上运动，且∠ACB=90°，AC=BC．

(1)如图1，当A(0，-2)，C(1，0)，点B在第四象限时，则点B的坐标为_____；

(2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断与哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论．

(3)如图3，当点C在y轴正半轴上运动，点A在x轴正半轴上运动，使点D恰为BC的中点，连接DE，求证：∠ADC=∠BDE．

Answer 1

【答案】(3，-1)

【解析】试题分析

（1）如下图1，过点B作BD⊥x轴于点D，结合已知条件证△OAC≌△DCB，就可求得BD和OD的长，从而可得点B的坐标；

（2）如下图2，过点B作BE⊥x轴于点E，结合已知条件可证得△OAC≌△ECB，四边形ODBE是矩形，这样就可得到：CE=OA，BD=OE，所以OC-BD=OC-OE=CE，从而可得： ；

（3）如下图3，过点B作BG⊥BC于点B，交y轴于点G，结合已知条件可证△CBG≌△ACD，从而可得：∠ADC=∠CGB，BG=CD，结合CD=BD可得BD=BG；再证∠DBE=∠GBE=45°，就可结合BE=BE，证得△DBE≌△GBE，从而可得∠BDE=∠BGE，结合∠ADC=∠CGB就可证得：∠ADC=∠BDE．

试题解析：

(1)∵点A的坐标为：(0，-2)，点C的坐标为：(1，0)，

∴OA=2，OC=1，

作BD⊥CD，

∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OAC+∠DCB=90°，

∴∠OAC=∠DCB，

∵在△OAC和△DCB中，

∴△OAC≌△DCB，(AAS)

∴CD=OA=2，BD=OC=1，OD=3，

∴B点坐标为(3，-1)；

(2)作BE⊥OC，则四边形ODBE为矩形，

∵∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠BCO=∠CAO，

∵△OAC和△ECB中，

∴△OAC≌△ECB，(AAS)

∴EC=OA，

∵四边形ODBE为矩形，

∴OE=BD，

∵OC=OE+EC，

∴OC=AO+BD，

∴OC-BD=OA，

∴ ，即是定值，且定值为1；

(3)过点B作BG⊥BC交y轴于点G，

∴∠CBG=∠ACD=90°，

∵∠BCG+∠ACG=90°，∠ACO+∠DCO=90°，

∴∠DCO=∠CAO．

在△BCG和△CAD中，

∴△BCG≌△CAD(ASA)，

∴BG=CD=BD，∠BGE=∠ADC，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=∠BAC=45°，

又∵∠CBG=90°，

∴∠EBG=∠DBE=45°，

在△DBE和△GBE中，

∴△DBE≌△GBE(SAS)，

∴∠BDE=∠BGE，

由∵∠BGE=∠ADC，

∴∠ADC=∠BDE．