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【题目】已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/秒的速度移动,点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/秒的速度移动.如果P、Q分别从A、C同时出发.设移动的时间为t.

求:(1)t为何值时,梯形PQCD是等腰梯形;

(2)t为何值时,AB的中点E到线段PQ的距离为7cm.

【答案】(1)8秒;(2)t=3.5或t=7

【解析】试题分析:(1)过P作PN⊥BC于N,过D作DM⊥BC于M,先证明四边形ABMD是矩形,从而得到AD=BM,再根据边与边之间的关系,列一元一次方程3t﹣21=3,得到t=8,即t=8秒时,梯形PQCD是等腰梯形;

(2)在Rt△PQM中,表示出PM=14,QM=3t﹣1,然后根据PM2+QM2=PQ2,得到142+(3t﹣21)2=(21﹣t)2,求得t值即可.

试题解析:

如图1,过P作PN⊥BC于N,过D作DM⊥BC于M,

∵AD∥BC,∠B=90°,DM⊥BC,

∴四边形ABMD是矩形,AD=BM.

∴MC=BC﹣BM=BC﹣AD=3.

又∵QN=BN﹣BQ=AP﹣BQ=t﹣(21﹣2t)=3t﹣21.

若梯形PQCD为等腰梯形,则QN=MC=3.

得3t﹣21=3,t=8,

即t=8秒时,梯形PQCD是等腰梯形.

(2)如图2,过E作EF⊥PQ于F,连接PE,EQ,当EF=7cm时,

∵AE=BE=AB=×14=7cm,

∴AE=EF=BE,

∵AD∥BC,∠B=90°,

∴∠A=90°,

∵PE=PE,EQ=EQ,

∴△AEP≌△FEP,△BEQ≌△FEQ,

∴PA=PF=t,BQ=FQ=21﹣2t,

∴PQ=PF+FQ=21﹣t,

在Rt△PQM中,PM=14,QM=3t﹣1,

∵PM2+QM2=PQ2

∴142+(3t﹣21)2=(21﹣t)2

解得:t=3.5或t=7,

∴当t为3.5或7时,AB的中点E到线段PQ的距离为7cm.

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型】填空
束】
18

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