Question

10．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，若AD=2，BD=3．设$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）求$\overrightarrow{DE}$和$\overrightarrow{AC}$（用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的式子表示）
（2）求作$\overrightarrow{DC}$在$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{BC}$方向上的分向量（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，得到$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{5}$，由$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，推出DE=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$，根据三角形法则得到$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$，因为AC=$\frac{5}{2}$AE，可得$\overrightarrow{AC}$=$\frac{5}{2}$（$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$）=$\frac{5}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$．
（2）利用平行四边形法则，即可求得答案

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{5}$，
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，
∴DE=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$，
∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$，
∵AC=$\frac{5}{2}$AE，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\frac{5}{2}$（$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$）=$\frac{5}{2}$$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$．

（2）如图，

$\overrightarrow{DC}$在$\overrightarrow{DB}$方向上的分向量是$\overrightarrow{DB}$．
$\overrightarrow{DC}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的分向量是$\overrightarrow{DM}$．

点评 此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键