Question

1．如图，已知在△ABC中，AB＞BC，过点B作△ABC的外接圆的切线，交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接AE交△ABC的外接圆于点F，求证：∠CBF=∠BDF．

Answer 1

分析 由于BD为切线，根据切割线定理得BE²=EF•EA，而BE=DE，则DE²=EF•EA，加上∠DEF=∠AED，则可判断△EFD∽△EDA，所以∠EDF=∠EAC，再根据圆周角定理得∠FAC=∠CBF，于是∠EDF=∠CBF．

解答 证明：∵BD为切线，
∴BE²=EF•EA，
∵E为BD的中点，
∴BE=DE，
∴DE²=EF•EA，
即$\frac{DE}{EF}$=$\frac{EA}{DE}$，
而∠DEF=∠AED，
∴△EFD∽△EDA，
∴∠EDF=∠EAC，
∵∠FAC=∠CBF，
∴∠EDF=∠CBF，
即∠CBF=∠BDF．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常用到切割线定理．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．