Question

如图，在△ABC中，BC=15，AB=12，CP=5，过点P作直线PN与AC交于点N，使截得的三角形与△ABC相似，求PN的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：分类讨论

分析：分别利用过点P作PN⊥AC于点N，当N′P⊥BC于点P，得出△CPN∽△CBA，△BAC∽△N′PC，进而求出即可．

解答：解：如图所示：过点P作PN⊥AC于点N，
∵PN⊥AC，∠A=90°，
∴PN∥AB，
∴△CPN∽△CBA，
∴

CP

BC

=

PN

AB

，
∴

5

15

=

PN

12

，
解得：PN=4；
当N′P⊥BC于点P，
∵∠A=∠N′PC，∠C=∠C，
∴△BAC∽△N′PC，
∴

PC

AC

=

PN′

AB

，
∵BC=15，AB=12，∠A=90°，
∴AC=9，
∴

5

9

=

PN′

12

，
解得：PN′=

20

3

，
故使截得的三角形与△ABC相似，则PN的长为4或

20

3

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用分类讨论得出是解题关键．