Question

【题目】如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，抛物线的顶点为M，其对称轴交AB于点N．

（1）求抛物线的表达式及点M、N的坐标；

（2）是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+2x+4， M，N，（2）存在，P．

【解析】

（1）先由直线解析式求出A，B的坐标，再利用待定系数法可求出抛物线解析式，可进一步化为顶点式即可写出顶点M的坐标并求出点N坐标；

（2）先求出MN的长度，设点P的坐标为（m，﹣2m+4），用含m的代数式表示点D坐标，并表示出PD的长度，当PD＝MN时，列出关于m的方程，即可求出点P的坐标．

（1）∵直线y＝﹣2x+4分别交x轴，y轴于点A，B，

∴A（2，0），B（0，4），

把点A（2，0），B（0，4）代入y＝﹣2x2+bx+c，得

，

解得，，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x﹣）2+，

∴顶点M的坐标为（，），

当x＝时，y＝﹣2×+4＝3，

则点N坐标为（，3）；

（2）存在点P，理由如下：

MN＝﹣3＝，

设点P的坐标为（m，﹣2m+4），

则D（m，﹣2m2+2m+4），

∴PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，

∵PD∥MN，

∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，

即﹣2m2+4m＝，

解得，m1＝，m2＝（舍去），

∴此时P点坐标为（，1）．