Question

【题目】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的面积等分线．

问题探究

（1）如图1，△ABC中，点M是AB边的中点，请你过点M作△ABC的一条面积等分线；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥AD，AD＝2，CD＝4，BC＝6，点P是AB的中点，点Q在CD上，试探究当CQ的长为多少时，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线；

问题解决

（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD是某公司将要筹建的花园示意图，A与原点重合，D、B分别在x轴、y轴上，其中AB＝3，BC＝5，出入口E在边AD上，且AE＝1，拟在边BC、AB、CD、上依次再找一个出入口F、G、H，沿EF、GH修两条笔直的道路（路的宽度不计）将花园分成四块，在每一块内各种植一种花草，并要求四种花草的种植面积相等．请你求出此时直线EF和GH的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当CQ的长为1时，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线；（3）直线EF的解析式为y＝x﹣1，直线GH的解析式为y＝﹣x+．

【解析】

（1）连接CM，得出△ACM的面积＝△BCM的面积，得出CM是△ABC的一条面积等分线；

（2）连接PC，作AM⊥BC于M，PN⊥BC于N，则AM∥PN，四边形AMCD是矩形，求出PN是△ABM的中位线，得出PN＝AM＝2，得出△BCP的面积＝6，由题意得出四边形PBCQ的面积＝梯形ABCD的面积＝8，得出△PCQ的面积＝2＝CQ×CN＝CQ×4，解得CQ＝1即可；

（3）连接AC、BD交于点P，证明△PCF≌△PAE（ASA），得出CF＝AE＝1，BF＝5﹣1＝4，得出E（1，0），F（4，3），由待定系数法求出直线EF的解析式为y＝x﹣1；同理△BPG≌△DPH（ASA），得出BG＝DH，求出H（5，），G（0，），由待定系数法求出直线GH的解析式为y＝﹣x+．

解：（1）连接CM，如图1所示：

∵点M是AB边的中点，

∴△ACM的面积＝△BCM的面积，

∴CM是△ABC的一条面积等分线；

（2）当CQ的长为1时，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线；理由如下：

连接PC，作AM⊥BC于M，PN⊥BC于N，如图2所示：

则AM∥PN，四边形AMCD是矩形，

∴AM＝CD＝4，CM＝AD＝2，

∴BM＝BC﹣CM＝4，

∵点P是AB的中点，

∴PN是△ABM的中位线，

∴PN＝AM＝2，MN＝BM＝2，CN＝NM+CM＝4

∴△BCP的面积＝×6×2＝6，

∵梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×CD＝（2+6）×4＝16，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线；

∴四边形PBCQ的面积＝梯形ABCD的面积＝8，

∴△PCQ的面积＝8﹣6＝2＝CQ×CN＝CQ×4，

解得：CQ＝1，

即当CQ的长为1时，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线；

（3）连接AC、BD交于点P，如图3所示：

∵EF、GH将花园分成四块，且面积相等，

∴EF、GH经过点P，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，PA＝PC，AD∥BC，

∴∠PCF＝∠PAE，

在△PCF和△PAE中，，

∴△PCF≌△PAE（ASA），

∴CF＝AE＝1，BF＝5﹣1＝4，

∴E（1，0），F（4，3），

设直线EF的解析式为y＝kx+b，

把E（1，0），F（4，3）代入得：，

解得：，

∴直线EF的解析式为y＝x﹣1；

同理：△BPG≌△DPH（ASA），

∴BG＝DH，

由题意得：△PBG的面积＝△PAE的面积，

∴BG×＝×1×，

解得：BG＝，

∴DH＝BG＝，

∴H（5，），AG＝AB﹣BG＝，

∴G（0，），

设直线GH的解析式为y＝ax+c，

把G（0，），H（5，）代入得，

解得： ，

∴直线GH的解析式为y＝﹣x+．