Question

【题目】同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．

（1）证明：四边形AECF是菱形；

（2）求菱形AECF的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）156．

【解析】

（1）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明AF＝CE即可．

（2）在RT△ABE中利用勾股定理求出BE、AE，再根据S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC求出面积即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠FAC＝∠ACE，

∵∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB，

∴∠EAC＝∠ACF，

∴AE∥CF，∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠FAC＝∠FCA，

∴AF＝CF，

∴四边形AECF是菱形．

（2）解：∵四边形AECF是菱形，

∴AE＝EC＝CF＝AF，设菱形的边长为a，

在RT△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝12，AE＝a，BE＝18﹣a，

∴a2＝122+（18﹣a）2，

∴a＝13，

∴BE＝DF＝5，AF＝EC＝13，

∴S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC＝216﹣30﹣30＝156cm2．