Question

【题目】阅读材料：

材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣，x1x2＝．

材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．

解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以＝﹣3．

根据上述材料解决以下问题：

（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．

（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：

（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1．求的值．

Answer 1

【答案】（1）-2，-；（2）﹣；（3）﹣．

【解析】

（1）直接利用根与系数的关系求解；

（2）把m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣，再利用因式分解的方法得到m2n+mn2＝mn（m+n），然后利用整体的方法计算；

（3）先把t2+99t+19＝0变形为19（）2+99+1＝0，则把实数s和可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，利用根与系数的关系得到s+＝﹣，s＝，然后变形为s+4+，再利用整体代入的方法计算．

解：（1）x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝﹣；

故答案为﹣2；﹣；

（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，

∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，

∴m+n＝1，mn＝﹣，

∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；

（3）把t2+99t+19＝0变形为19（）2+99+1＝0，

实数s和可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，

∴s+＝﹣，s＝，

∴＝s+4+＝﹣+4×＝﹣．