Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC．

（1）当sinB=时，

①求证：BE＝2CD.

②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．

（2）当sinB=时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，求线段CD的长．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②BE＝2CD成立.理由见解析；（2）2或4．

【解析】

（1）①作EH⊥BC于点H，由sinB=可得∠B=30°，∠A=60°，根据ED⊥AC可证明四边形CDEH是矩形，根据矩形的性质可得EH=CD，根据正弦的定义即可得BE＝2CD；

②根据旋转的性质可得∠BAC＝∠EAD，利用角的和差关系可得∠CAD＝∠BAE，根据=可证明△ACD∽△ABE，及相似三角形的性质可得，进而可得BE=2CD；

（2）由sinB=可得∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，根据ED⊥AC可得AD＝DE，AC＝BC，如图，分两种情况讨论，通过证明△ACD∽△ABE，求出CD的长即可.

（1）①作EH⊥BC于点H，

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=，

∴∠B=30°，

∴∠A=60°，

∵ED⊥AC

∴∠ADE＝∠C＝90°，

∴四边形CDEH是矩形，即EH=CD.

∴在Rt△BEH中，∠B=30°

∴BE＝2EH

∴BE＝2CD.

②BE＝2CD成立．

理由：∵△ADE绕点A旋转到如图2的位置，

∴∠BAC＝∠EAD＝60°，

∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，

∵AC：AB＝1：2，AD：AE＝1：2，

∴，

∴△ACD∽△ABE，

∴，

又∵Rt△ABC中，＝2，

∴＝2，即BE＝2CD.

（2）∵sinB=，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，

∵ED⊥AC，

∴∠AED＝∠BAC＝45°，

∴AD＝DE，AC＝BC，

将△ADE绕点A旋转，∠DEB＝90°，分两种情况：

①如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，

当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，

又∵AD＝DE，

∴四边形ADEF是正方形，

∴AD＝AF＝EF＝2，

∵AC＝10＝BC，

∴AB＝10，

∴Rt△ABF中，BF＝＝6，

∴BE＝BF﹣EF＝4，

又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，

且∠BAC＝∠EAD＝45°，

∴∠CAD＝∠BAE，

∵AC：AB＝1：，AD：AE＝1：，

∴，

∴△ACD∽△ABE，

∴＝，即＝，

∴CD＝2；

②如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，

当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，

又∵AD＝ED，

∴四边形ADEF是正方形，

∴AD＝EF＝AF＝2，

又∵AC＝10＝BC，

∴AB＝10，

∴Rt△ABF中，BF＝＝6，

∴BE＝BF+EF＝8，

又∵△ACD∽△ABE，

∴＝，即＝，

∴CD＝4，

综上所述，线段CD的长为2或4．