Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE＝4，AE＝8．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）求证：OC2＝OEOP；

（3）求线段EG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB＝∠ADO，再由已知条件得出∠ADO＝∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；

（2）证明△ODE∽△OPD，得出OD2＝OEOP，由OC＝OD，即可得出OC2＝OEOP；

（3）连接DG，由垂径定理得出DE＝CE＝4，得出CD＝8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．

（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵OA＝OD，

∴∠DAB＝∠ADO，

∵∠DAF＝∠DAB，

∴∠ADO＝∠DAF，

∴OD∥AF，

又∵DF⊥AF，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）证明：由（1）得：PF⊥OD，

∴∠ODP＝90°，

∵AB⊥CD，

∴∠OED=90°

∴∠ODP=∠OED

又∠DOE=∠POD

∴△ODE∽△OPD，

∴，即OD2＝OEOP，

∵OC＝OD，

∴OC2＝OEOP；

（3）连接DG，如图2所示：

∵AB⊥CD，

∴DE＝CE＝4，

∴CD＝DE+CE＝8，

设OD＝OA＝x，则OE＝8﹣x，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，

即（8﹣x）2+42＝x2，

解得：x＝5，

∴CG＝2OA＝10，

∵CG是⊙O的直径，

∴∠CDG＝90°，

∴DG＝＝＝6，

∴EG＝＝＝2．