Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点F是AC边上的中点，DC⊥BC，与BF的延长线交于点D，AE平分∠BAC交BF于点E．

（1）求证：AE∥DC；

（2）若BD=8，求AD的长；

（3）若∠BAC=30°，AC=12，点P是射线CD上一点，求CP+AP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4；（3）6

【解析】

（1）根据等腰三角形的“三线合一”得AN⊥BC，再利用平行线的性质即可证明AE∥CD；

（2）连接CE，由等腰三角形的“三线合一”得出BN=CN，结合AN∥CD和CD⊥BC得到CE=BD，再由AE∥CD和F为AC的中点证明△AEF≌△CDF，进而得到四边形AECD是平行四边形，所以AD=CE即可解答；

（3）在∠ACD外作∠DCG=30°，过CD上一点P1作P1M1⊥CG于M1，连接AP1，过点A作AM⊥CG交CD于点P．则P1M1=CP1，PM=CP，利用垂线段最短得知AM的长度为所求的最小值，进而在Rt△ACM中求得AM即可．

证明：（1）延长AE交BC于点N．

∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC．

又∵CD⊥BC，

∴AE∥CD

（2）连接CE．

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴BN=CN．

又∵AN∥CD，

∴BE=ED．

∵∠BCD=90°，

∴CE=BD

∵F是AC中点，

∴AF=CF．

∴AE∥CD．

∴∠EAC=∠DCA，∠AED=∠CDE．

∴△AEF≌△CDF(AAS)．

∴EF=DF．

又AF=CF，

∴四边形AECD是平行四边形．

∴AD=CE=BD，

∵BD=8，

∴AD=4

（3）在∠ACD外作∠DCG=30°．

过CD上一点P1作P1M1⊥CG于M1，连接AP1，过点A作AM⊥CG交CD于点P．

在Rt△CP1M1和Rt△CPM中，∠DCG=30°，则P1M1=CP1，PM=CP．

∴CP1+AP1=P1M1+AP1，CP+AP=PM+AP=AM．

由“垂线段最短”可得P1M1+AP1≥AM，当A、P、M三点共线且AM⊥CM时，CP+AP最小．

∵∠BAC=30°，AE平分∠BAC，

∴∠EAC=15°．

∵AE∥CD，

∴∠DCA=∠EAC=15°．

∴∠ACM=∠ACD+∠DCM=45°．

在等腰Rt△ACM中，AC=12，

由勾股定理得2AM2=AC2=122

∴AM=6．

∴CP+AP的最小值是6．