Question

【题目】如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD＝．

【解析】

（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；

（2）在Rt△OCD中和Rt△ACD中，分别利用勾股定理分别求出CD,AD的长即可 ．

（1）证明：连接CE，如图所示：

∵AC为⊙O的直径，

∴∠AEC＝90°．

∴∠BEC＝90°，

∵点F为BC的中点，

∴EF＝BF＝CF，

∴∠FEC＝∠FCE，

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠OCE，

∵∠FCE+∠OCE＝∠ACB＝90°，

∴∠FEC+∠OEC＝∠OEF＝90°，

∴EF是⊙O的切线．

（2）解：∵OA＝OE，∠EAC＝60°，

∴△AOE是等边三角形．

∴∠AOE＝60°，

∴∠COD＝∠AOE＝60°，

∵⊙O的半径为2，

∴OA＝OC＝2

在Rt△OCD中，∵∠OCD＝90°，∠COD＝60°，

∴∠ODC＝30°，

∴OD＝2OC＝4，

∴CD＝．

在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝．

∴AD＝＝．