【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,经过点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC交EC的延长线于点D,AD交⊙O于F,FM⊥AB于H,分别交⊙O、AC于M、N,连接MB,BC.
(1)求证:AC平分∠DAE;
(2)若cosM=,BE=1,①求⊙O的半径;②求FN的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)①⊙O的半径为4;②FN=.
【解析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得OC⊥DE,则判断OC∥AD得到∠1=∠3,加上∠2=∠3,从而得到∠1=∠2;
(2)①利用圆周角定理和垂径定理得到,则∠COE=∠FAB,所以∠FAB=∠M=∠COE,设⊙O的半径为r,然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到,从而解方程求出r即可;
②连接BF,如图,先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=,再计算出OC=3,接着证明△AFN∽△AEC,然后利用相似比可计算出FN的长.
(1)连接OC,如图,
∵直线DE与⊙O相切于点C,
∴OC⊥DE,
又∵AD⊥DE,
∴OC∥AD.
∴∠1=∠3
∵OA=OC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,
∴AC平方∠DAE;
(2)①∵AB为直径,
∴∠AFB=90°,
而DE⊥AD,
∴BF∥DE,
∴OC⊥BF,
∴,
∴∠COE=∠FAB,
而∠FAB=∠M,
∴∠COE=∠M,
设⊙O的半径为r,
在Rt△OCE中,cos∠COE=,即,解得r=4,
即⊙O的半径为4;
②连接BF,如图,
在Rt△AFB中,cos∠FAB=,
∴AF=8×,
在Rt△OCE中,OE=5,OC=4,
∴CE=3,
∵AB⊥FM,
∴,
∴∠5=∠4,
∵FB∥DE,
∴∠5=∠E=∠4,
∵,
∴∠1=∠2,
∴△AFN∽△AEC,
∴,即,
∴FN=.
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【题目】某茶具店购进了A、B两种不同的茶具,1套A种茶具和2套B种茶具共需250元;3套A种茶具和4套B种茶具共需600元.
(1)求A、B两种茶具每套的进价分别是多少元?
(2)由于茶具畅销,茶具店准备再购进A、B两种茶具共80套,但这次进货时,工厂对A种茶具每套进价提高了8%,而B种茶具每套按第一次进价的八折,若茶具店本次进货总钱数不超过6240元,则最多可进A种茶具几套?
(3)若销售一套A种茶具可获利30元,销售一套B种茶其可获利20元,在(2)的条件下,如何进货可使本次购进茶具获利最多?最多是多少?
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【题目】如图①,直线y=﹣x+2与x轴,y轴分别交于A,B两点,以A为顶点的抛物线经过点B,点P是抛物线上一点,连接OP,AP.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若△AOP的面积是3,求P点坐标;
(3)如图②,动点M,N同时从点O出发,点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动,点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动,当其中一个动点停止运动时,另一个动点也随之停止运动,过点N作NE∥x轴交直线AB于点E.若设运动时间为t秒,是否存在某一时刻,使四边形AMNE是菱形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上(不与点A,O重合)的一个动点,过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E.
(1)求证:PE=PB;
(2)如图2,若正方形ABCD的边长为2,过点E作EF⊥AC于点F,在点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值;若变化,请说明理由;
(3)用等式表示线段PC,PA,CE之间的数量关系.
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【题目】如图1,在△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,且CD>DA,DA=2.点P、Q同时从D点出发,以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动.过点Q作AC的垂线段QR,使QR=PQ,联接PR.当点Q到达A时,点P、Q同时停止运动.设PQ=x.△PQR和△ABC重合部分的面积为S.S关于x的函数图像如图2所示(其中0<x≤,<x≤m时,函数的解析式不同)
(1)填空:n的值为___________;
(2)求S关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
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【题目】如图1,共直角边AB的两个直角三角形中,∠ABC=∠BAD=90°,AC交BD于P,且tan∠C=.
(1)求证:AD=AB;
(2)如图2,BE⊥CD于E交AC于F.
①若F为AC的中点,求的值;
②当∠BDC=75°时,请直接写出的值.
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【题目】如图,反比例函数y=(x>0)的图象上有一点A,连结OA,将线段AO绕点A逆时针旋转60°得到线段AB.若点A的横坐标为t,点B的纵坐标为s,则s关于t的函数解析式为_____.
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【题目】如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF和AD.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠EAC=60°,求AD的长.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(2,﹣1),与x轴交于A,B两点,OA=3;
(1)求此抛物线的解析式;
(2)如图1,一次函数y=﹣x+3图象交x轴于点A,交y轴于点D,连结AC、BD,在x轴上有一点Q,使△AQC 与△ABD相似,求出点Q坐标;
(3)如图2,在直线y=kx -1(k>0)上是否存在唯一一点P,使得∠APB=90°?若存在,请直接写出此时k的值;若不存在,请说明理由.
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