【题目】如图①,直线y=﹣x+2
与x轴,y轴分别交于A,B两点,以A为顶点的抛物线经过点B,点P是抛物线上一点,连接OP,AP.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若△AOP的面积是3,求P点坐标;
(3)如图②,动点M,N同时从点O出发,点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动,点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动,当其中一个动点停止运动时,另一个动点也随之停止运动,过点N作NE∥x轴交直线AB于点E.若设运动时间为t秒,是否存在某一时刻,使四边形AMNE是菱形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的表达式为:y=x2﹣2
x+2
;(2)点P的坐标为:(2+
,3
)或(2﹣
,3
);(3)存在t=
,理由见解析.
【解析】
(1)求出点A、B的坐标;因为抛物线的顶点为点A,所以设抛物线的表达式为:y=a(x-2)2,将点B的坐标代入上式,即可求解;
(2)△AOP的面积=×OA×yP=
×2×yP=3
,解得:yP=3
,即可求解;
(3)t秒时,点M、N的坐标分别为:(t,0)、(0,t),则点E(2-t,
t),而点N(0,
t),故NE=2-t,当四边形AMNE是菱形时,NE=MN,即可求解.
(1)y=﹣x+2
,令x=0,则y=2
,令y=0,则x=2,
故点A、B的坐标分别为:(2,0)、(0,2),
∵抛物线的顶点为点A(2,0),
∴设抛物线的表达式为:y=a(x﹣2)2,
将点B的坐标代入上式得:2=a(0﹣2)2,解得:a=
,
故抛物线的表达式为:y=(x﹣2)2=
x2﹣2
x+2
;
(2)∵点A(2,0),则OA=2,
∴△AOP的面积=×OA×yP=
2×yP=3
,
解得:yP=3,
则yP=3=
(x﹣2)2,解得:x=2
,
故点P的坐标为:(2+,3
)或(2﹣
,3
);
(3)存在,理由:
由题意得:t秒时,点M、N的坐标分别为:(t,0)、(0,t),
当y=t时,y=
t=﹣
x+2
,解得:x=2﹣t,故点E(2﹣t,
t),
而点N(0,t),故NE=2﹣t,
当四边形AMNE是菱形时,NE=MN,
即t2+(t)2=(2﹣t)2,
解得:t=或﹣2(舍去﹣2),
故t=.
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【题目】某商店在年至
年期问销售一种礼盒,
年该商店川
万元购进了这种礼盒并且全部售完.
年这种礼盒的进价比
年下降了
元/盒,该商店用
万元购进了与
年相同数量的礼盒也全部售完,礼盒的售价均为
元/盒
(1)年这种礼盒的进价是多少元/盒?
(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同,问年增长率是多少?
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【题目】已知关于的二次函数
(
>0)的图象经过点C(0,1),且与
轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0).
(1)求c的值和,
之间的关系式;
(2)求的取值范围;
(3)该二次函数的图象与直线交于C、D两点,设 A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0<
<l时,求证:S1-S2为常数,并求出该常数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(,0),B(0,4),则点B2014的横坐标为______.
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【题目】某地为了了解2020年在疫情中上网课的感受,组织教师通过问卷和座谈等形式,随机抽取某城区一些初中学生进行调查,并将调查的普遍感受分为四大类:A.提高自律能力;B.战亲子关系;C.提升信息素养;D.教师敬业辛苦,并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了__________名初中学生;
(2)求出图2中扇形C所对的圆心角的度数,并将图1补充完整;
(3)根据抽样调查结果,请你估计该城区1000名初中学生中有多少人的感受是“教师敬业辛苦”?
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=4,CD=1,BC=4.在边BC上取一点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似,甲认为这样的点P只存在1个,乙认为这样的点P存在不止1个,则( )
A.甲的说法正确B.乙的说法正确
C.甲、乙的说法都正确D.甲、乙的说法都不正确
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,经过点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC交EC的延长线于点D,AD交⊙O于F,FM⊥AB于H,分别交⊙O、AC于M、N,连接MB,BC.
(1)求证:AC平分∠DAE;
(2)若cosM=,BE=1,①求⊙O的半径;②求FN的长.
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