Question

【题目】如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与点A，O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．

（1）求证：PE＝PB；

（2）如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；

（3）用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．PF的长为定值；（3）．理由见解析．

【解析】

（1）做辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明即可求解．

（2）如图，连接OB，通过证明，得到PF=OB，则PF为定值是．

（3）根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得，，整理可得结论．

（1）证明：如图①，过点P作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N．

∵PB⊥PE，

∴∠BPE＝90°，

∴∠MPB+∠EPN＝90°．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝∠D＝90°．

∵AD∥MN，

∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90，

∵∠MPB+∠MBP＝90°，

∴∠EPN＝∠MBP．

在Rt△PNC中，∠PCN＝45°，

∴△PNC是等腰直角三角形，

∴PN＝CN，

∴BM＝CN＝PN，

∴△BMP≌△PNE（ASA），

∴PB＝PE．

（2）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．

理由：如图2，连接OB．

∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，

∴OB⊥AC，

∴∠AOB＝90°，

∴∠AOB＝∠EFP＝90°，

∴∠OBP+∠BPO＝90°．

∴∠BPE＝90°，

∴∠BPO+∠OPE＝90°，

∴∠OBP＝∠OPE．

由（1）得PB＝PE，

∴△OBP≌△FPE（AAS），

∴PF＝OB．

∵AB＝2，△ABO是等腰直角三角形，∴．

∴PF的长为定值．

（3）解：．

理由：如图1，∵∠BAC＝45°，

∴△AMP是等腰直角三角形，

∴．

由（1）知PM＝NE，

∴．

∵△PCN是等腰直角三角形，

∴．