【题目】如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、BC上,AE与CD交于点F,若AE平分∠BAC,ABAF=ACAE.
(1)求证:∠AFD=∠AEC;
(2)若EG∥CD,交边AC的延长线于点G,求证:CDCG=FCBD.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)先证△BAE∽△CAF,推出∠AEB=∠AFC,由等角的补角相等可得出结论;
(2)先证明∠DCB=∠CEG,∠G=∠ACF=∠B,推出△BDC∽△GCE,由相似三角形的性质可得出结论.
(1)证明:∵ABAF=ACAE,
∴,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE,
∴△BAE∽△CAF,
∴∠AEB=∠AFC,
∴180°﹣∠AEB=180°﹣∠AFC,
∴∠AEC=∠AFD;
(2)证明:∵∠CFE=∠AFD=∠CEF,
∴CE=CF,
∵DC∥EG,
∴∠DCB=∠CEG,∠G=∠ACF=∠B,
∴△BDC∽△GCE,
∴,
∴CDCG=FCBD.
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【题目】元旦期间,九年级某班六位同学进行跳圈游戏,具体过程如下:图1所示是一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上的点数分别是1,2,3,4.5,6,如图2,正六边形ABCDEF的顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为:游戏者每投掷一次骰子,假骰子向上的一面上的点数是几,就沿着正六边形的边逆时针方向连续跳几个边长.如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就逆时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2.就从图D开始逆时针连续起跳2个边长,落到圈F…,设游戏者从圈A起跳
(1)小明随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率P1;
(2)小亮随机掷两次骰子,用列表法或画树状图法求最后落回到圈A的概率P2.
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【题目】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为这个平面图形的面积等分线.
问题探究
(1)如图1,△ABC中,点M是AB边的中点,请你过点M作△ABC的一条面积等分线;
(2)如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,CD⊥AD,AD=2,CD=4,BC=6,点P是AB的中点,点Q在CD上,试探究当CQ的长为多少时,直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线;
问题解决
(3)如图3,在平面直角坐标系中,矩形ABCD是某公司将要筹建的花园示意图,A与原点重合,D、B分别在x轴、y轴上,其中AB=3,BC=5,出入口E在边AD上,且AE=1,拟在边BC、AB、CD、上依次再找一个出入口F、G、H,沿EF、GH修两条笔直的道路(路的宽度不计)将花园分成四块,在每一块内各种植一种花草,并要求四种花草的种植面积相等.请你求出此时直线EF和GH的函数表达式.
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【题目】如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等,且周长也相等,那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”,已知在△ABC中,AB=AC,△ABC的一条“完美分割线”为直线l,且直线l平行于BC,若AB=2,则BC的长等于_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线OB,AC相交于点D,且BE∥AC,AE∥OB,
(1)求证:四边形AEBD是菱形;
(2)如果OA=3,OC=2,求出经过点E的反比例函数解析式.
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【题目】如图,矩形ABCD的两边AD,AB的长分别为3,8,E是AB的中点,反比例函数y=的图象经过点E,与CD交于点F.
(1)若点C坐标为(6,0),求m的值及图象经过D,E两点的直线解析式;
(2)若DF﹣DE=2,求反比例函数的表达式.
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【题目】某校九年级有600名学生,在体育中考前进行了一次模拟体测.从中随机抽取部分学生,根据其测试成绩制作了下面两个统计图.请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次抽取到的学生人数为 ,图2中的值为 ;
(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)根据样本数据,估计该校九年级模拟体测中得12分的学生约有多少人?
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【题目】某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地,如图所示,BC∥AD,BE⊥AD,斜坡AB长为26米,斜坡AB的坡比为i=12:5,为了减缓坡面防山体滑坡,保障安全,学校决定对该斜坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡.
(1)求改造前坡顶到地面的距离BE的长;
(2)如果改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC向左移11米到F点处,问这样改造能确保安全吗?(tan48.8°≈1.14)
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