Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=4cm，点E从点C出发沿射线CA以每秒3cm的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒．
（1）若0＜t＜4，试问：t为何值时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）若∠ACB的平分线CG交△ECF的外接圆于点G．
①试说明：当0＜t＜4时，CE、CF、CG在运动过程中，满足CE+CF=$\sqrt{2}$CG；
②试探究：当t≥4时，CE、CF、CG的数量关系是否发生变化，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）0＜t＜4时，E和F分别在边AC和BC上，分成△EFC∽△ABC和△FEC∽△ABC两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（2）分成0＜t＜4和t≥4两种情况进行讨论，①当0＜t＜4时，证明△EGH≌△FGC，△CGH是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，②当t≥4时，思路相同

解答 解：（1）由题意，EC=3t，BF=t，FC=4-t
∵∠ECF=∠ACB，
∴以E、C、F为顶点的三角形与△ACB相似有两种情况：
当$\frac{EC}{AC}$=$\frac{FC}{BC}$时，△EFC∽△ABC 
∴$\frac{3t}{12}=\frac{4-t}{4}$，解得t=2，
当$\frac{EC}{BC}$=$\frac{FC}{AC}$时，△FEC∽△ABC
∴$\frac{3t}{4}=\frac{4-t}{12}$，解得t=0.4．
∴当t=2或0.4秒时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）①当0＜t＜4时，
过点G作GH⊥CG交AC于H，如图1：

∵∠ACB=90°，
∴EF为△ECF的外接圆的直径，
∴∠EGF=90°，
∴∠EGH=∠FGC，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ECG=∠FCG=45°
∴$\widehat{EG}$=$\widehat{FG}$，
∴EG=FG
∵∠ECG=45°，
∴∠EHG=45°，
∴∠EHG=∠FCG，
在△EGH和△FGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGH=∠FGC}\\{BE=FG}\\{∠CHG=∠GCF}\end{array}\right.$，
∴△EGH≌△FGC．
∴EH=FC
∵∠EHG=∠ECG=45°，
∴CH=$\sqrt{2}$CG
∵CH=CE+EH，
∴CE+CF=$\sqrt{2}$CG；
②当t≥4时，
过点G作GM⊥CG交AC于M，如图2：

同理可得△EGM≌△FGC．
∴EM=FC
∵∠EMG=∠MCG=45°，
∴CM=$\sqrt{2}$CG
∵CM=CE-EM，
∴CE-CF=$\sqrt{2}$CG．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理以及圆的弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，正确证明△EGH≌△FGC是解决本题的关键．