Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx（a＞0）经过点A（2，0）和点B（-1，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式；
（3）在抛物线的对称轴上求一点P，使得PA+PC最小．

Answer 1

分析 （1）把A（2，0）和点B（-1，2）代入y=ax²+bx得a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可得到抛物线解析式；
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，则C点坐标为（3，2），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（3）如图，连结OC交直线x=1于点P，由于点A与点O关于直线x=1对称，则PA=PO，则PA+PC=PO+PC=OC，利用根据两点之间线段最短可判断此时P点满足条件，接着利用待定系数法求出直线OC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x，然后计算自变量为1所对应的函数值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）把A（2，0）和点B（-1，2）代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=0}\\{a-b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x；
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，
而点C与点B关于抛物线的对称轴对称，
所以C点坐标为（3，2），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（2，0），C（3，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=0}\\{3m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
所以直线AC的解析式为y=2x-4；
（3）如图，连结OC交直线x=1于点P，
因为点A与点O关于直线x=1对称，则PA=PO，
所以PA+PC=PO+PC=OC，
根据两点之间线段最短得此时PA+PC的值最小，
设直线OC的解析式为y=kx，
把C（3，2）代入得3k=2，解得k=$\frac{2}{3}$，
所以直线OC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x，
当x=1时，y=$\frac{2}{3}$，
所以此时P点坐标为（1，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．