Question

如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，OA：OB=

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2

．以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求点C坐标；
（3）直线y=

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2

x在第一象限内的图象上是否存在点P，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等？如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）对于直线y=kx+2，令x=0求出y的值，确定出B坐标，得到OB的长，根据OA与OB比值求出OA的长，确定出A坐标，代入直线方程即可求出k的值；
（2）过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AC=AB，利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM=OA，AM=OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标；
（3）假设存在点P使得△ABP的面积与△ABC的面积相等，在直线y=

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x第一象限上取一点P，连接BP，AP，设点P（m，

1

2

m），由三角形ABO面积+三角形BPO面积-三角形AOP面积表示出三角形ABP面积，求出三角形AOB面积，两者相等求出m的值，即可确定出P坐标．

解答：解：（1）对于直线y=kx+2，令x=0，得到y=2，即B（0，2），OB=2，
∵OA：OB=

1

2

，∴OA=1，即A（-1，0），
将x=-1，y=0代入直线解析式得：0=-k+2，即k=2；

（2）过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，

∠AMC=∠BOA=90° ∠ACM=∠BAO AC=BA

，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM=OB=2，CM=OA=1，即OM=OA+AM=1+2=3，
∴C（-3，1）；

（3）假设存在点P使得△ABP的面积与△ABC的面积相等，在直线y=

1

2

x第一象限上取一点P，连接BP，AP，
设点P（m，

1

2

m），
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△BPO-S_△AOP=1+m-

1

4

m=1+

3

4

m，而S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

AB²=

1

2

（1²+2²）=

5

2

，
可得1+

3

4

m=

5

2

，
解得：m=2，
则P坐标为（2，1）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形面积求法，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．