Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△ACM的周长最小，求点M的坐标．

（3）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P,Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP,DQ．若点P的横坐标为，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；

Answer 1

【答案】（1）；（2）（1，2）；（3）的面积最大值为8，此时点的坐标为，．

【解析】

（1）根据待定系数法求解即可；

（2）本题是典型的“将军饮马”问题，由抛物线的对称性知：点A关于对称轴的对称点为点B，故只需连接BC交直线x=1于点M，则M就是使得△ACM周长最小的点，然后根据待定系数法求出直线BC的解析式，而抛物线的对称轴易求，则点M的坐标可得；

（3）根据题意易求出点P、Q两点坐标，然后利用待定系数法可求出直线PQ的解析式，过点作DE∥y轴交直线于点，如图④，设点D的横坐标为x，则DE的长可用含x的代数式表示，再根据可得关于x的关系式，然后根据二次函数的性质即可求出结果．

解：（1）将、代入，得：

，

解得：，

抛物线的表达式为；

（2）∵抛物线的解析式是，

当x=0时，y=3，

∴点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴为直线x=1，

根据抛物线的对称性知：点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC交直线x=1于点M，则M就是使得△ACM周长最小的点，如图③，

设直线BC的解析式为y=kx+3，

∵点B（3，0）在直线BC上，

∴0=3k+3，

解得：k=﹣1，

即直线BC的解析式为y=﹣x+3，

当x=1时，y=﹣1+3=2，

故BC与对称轴的交点M的坐标为（1，2），

∴△ACM周长最小时，点M的坐标为（1，2）；

（3）当点的横坐标为时，点的横坐标为，

此时点的坐标为，，点的坐标为，．

设直线的表达式为，

将，、，代入，得：，

解得：，

直线的表达式为．

如图④，过点作DE∥y轴交直线于点，

设点的坐标为，则点的坐标为，

，

．

，

当时，的面积取最大值，最大值为8，此时点的坐标为，．