Question

13．如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．
（1）思考AE与BE的位置关系并加以说明；
（2）说明AB=AD+BC；
（3）若BE=6，AE=6.5，求四边形ABCD的面积？

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得出∠DAB+∠CBA=180°，再利用角平分线的定义和三角形的内角和解答即可；
（2）此题要通过构造全等三角形来求解，延长AE交BC的延长线于M；由AP∥BC，及AE平分∠PAB，可求得∠BAE=∠M，即AB=BM，因此直线证得AD=MC即可；在等腰△ABM中，BE是顶角的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知：E是AM的中点，即AE=EM，而PA∥BM，即可证得△ADE≌△MCE，从而得到所求的结论．
（3）由（2）的全等三角形可知：△ADE、△MCE的面积相等，从而将所求四边形的面积转化为等腰△ABM的面积，易得AM、BE的值，从而根据三角形的面积公式求得△ABM的面积，即四边形ADCB的面积．

解答 （1）解：AE与BE垂直，理由如下：
∵AP∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥EB；
（2）证明：延长AE交BC的延长线于M，
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD∥BC
∴∠1=∠M=∠2，∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴BM=BA，∠3+∠2=90°，
∴BE⊥AM，
在△ABE和△MBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠MEB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MBE
∴AE=ME，
在△ADE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠M}\\{AE=ME}\\{∠5=∠6}\end{array}\right.$；
∴△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∴AB=BM=BC+AD．
（3）解：由（2）知：△ADE≌△MCE，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABM
又∵AE=ME=6.5，BE=6，
∴${S}_{△ABM}=\frac{1}{2}×13×6=39$，
∴S_{四边形ABCD}=39．

点评 此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，同时还涉及了角平分线定义、平行线的性质以及等腰三角形的性质，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键．