Question

3．已知二次函数y=-x²+bx+c的图象的对称轴为直线x=-1，设图象与x轴交于点（x₁，0）、（x₂，0），若x₁²+x₂²=10，试求此函数的解析式．

Answer 1

分析 先利用抛物线对称轴方程可求出b=-2，再根据抛物线与x轴的交点问题得到方程-x²-2x+c=0的两根为x₁，x₂，利用根与系数的关系得到x₁+x₂=-2，x₁•x₂=-c，加上x₁²+x₂²=10，通过消去x₁，x₂可求出c的值，从而得到抛物线解析式．

解答 解：∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2×（-1）}$=-1，
∴b=-2，
∴y=-x²-2x+c，
∵抛物线与x轴交于点（x₁，0）、（x₂，0），
∴方程-x²-2x+c=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=-c，
∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10，
∴（-2）²+2c=10，解得c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．