Question

15．2015年10月11日中国新闻网报道，在故官博物院“石渠宝笺展”真迹展出之际，荣宝斋主办的“石渠宝笺”高仿真艺术品在内蒙古举行首展，某商场购进某种仿真工艺品，已知每件工艺品的进价为40元，在销售过程中发现月销量y（件）与销售单价x（元）成一次函数关系，并且当销售单价为70元时，每月销量可达50件，当销售单价为90元时，每月销量可达30件，每月销售该工艺品的其他支出为300元．
（1）写出该产品月利润p（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（月利润=总销售额-进价-其他支出）
（2）求当销售单价为多少时，月利润最大？最大利润是多少？
（3）若该商场每月的利润不低于675元，在此条件下要使产品的销量最大，求销售单价应定为多少？

Answer 1

分析 （1）设y与x的函数关系式y=kx+b，根据售价与销量之间的数量关系建立方程组，月销量y（件）与销售单价x（元）的函数关系，然后根据月利润=总销售额-进价-其它支出求出，该产品月利润p（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）根据利润=（售价-进价）×数量就可以表示出p；
（3）求出年销售获利等于675万元时，销售单价x的值，从而确定销售单价x的范围，及二次函数w最大时，x的值．

解答 解：（1）设月销量y（件）与销售单价x（元）成一次函数关系为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{50=70k+b}\\{30=90k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=120}\end{array}\right.$．
∴月销量y（件）与销售单价x（元）成一次函数关系为：y=-x+120，
∴p=（-x+120）（x-40）-300=-x²+160x-5100；
（2）∵p=-x²+160x-5100=-（x-80）²+1300，
∴当x=80时，p_最大=1300，
即：销售单价为80元时，月利润最大，最大利润是1300元；
（3）令p=675，得-x²+160x-5100=675，
整理，得x²-160x+5775=0．
解得x₁=105，x₂=55．
要使年获利不低于675万元，销售单价应在55元到105元之间．
又因为销售单价越低，销售量越大，
所以要使销售量最大，又使年获利不低于675万元，销售单价应定为55元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握售价-进价=利润．