Question

20．如图，抛物线y=ax²+b与x轴交于点A，B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）
（1）求抛物线的表达式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA，交抛物线与点D，连接BC，CA，AD，求四边形ACBD的周长（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+b与x轴交于点A，B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）可以求得抛物线的解析式，由抛物线与x轴交于A、B两点，可得点B的坐标；
（2）根据点A、C的坐标可以求得过点A、C的直线的解析式，由BD∥CA，点B的坐标，可以求得直线BD的解析式，然后将直线BD解析式与抛物线的解析式联立方程组可以求得点D的坐标，从而可以求得四边形ACBD的周长．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+b与x轴交于点A，B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$
解得a=-1，b=1．
∴抛物线的表达式是：y=-x²+1．
将y=0代入y=-x²+1得，x₁=-1，x₂=1．
∴点B的坐标为（-1，0）．
即抛物线的表达式是：y=-x²+1，点B的坐标为（-1，0）．
（2）设过点A（1，0），点C（0，1）的直线的解析式为：y=kx+b．
则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得，k=-1，b=1．
∴y=-x+1．
∵BD∥CA，
∴设过点B（-1，0）的直线的解析式为：y=-x+m．
则0=-（-1）+m．
解得m=-1．
∴直线BD的解析式为：y=-x-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-{x}^{2}+1}\end{array}\right.$
解得x₁=-1，x₂=2．
将x=2代入y=-x-1得，y=-3．
∴点D的坐标为（2，-3）．
∵点A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（2，-3），
∴AC=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-1）^{2}}=\sqrt{2}$，CB=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（0-1）^{2}}=\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{（-1-2）^{2}+[0-（-3）]^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，DA=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-3-0）^{2}}=\sqrt{10}$．
∴四边形ACBD的周长是：AC+CB+BD+DA=$\sqrt{2}+\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{10}=5\sqrt{2}+\sqrt{10}$．
即四边形ACBD的周长是：$5\sqrt{2}+\sqrt{10}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据题意找出所求问题需要的条件．