Question

11．如图，点P是线段AB的黄金分割点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°到点C，延长CP到点D．使PD=AB．连接AD，试比较△PCB与△PAD的面积大小，并说明理由．

Answer 1

分析 根据旋转的性质得PC=PB，∠CPB=90°，则利用三角形面积公式得到S_△PCB=$\frac{1}{2}$PB•PC=$\frac{1}{2}$PB²，S_△PAD=$\frac{1}{2}$AP•PD，由于PD=AB，所以S_△PAD=$\frac{1}{2}$AP•AB，接着根据黄金分割的定义有PB²=AP•AB，所以S_△PCB=S_△PAD．

解答 解：△PCB与△PAD的面积相等．理由如下：
∵线段PB绕着点P逆时针旋转90°到点C，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∵S_△PCB=$\frac{1}{2}$PB•PC=$\frac{1}{2}$PB²，S_△PAD=$\frac{1}{2}$AP•PD，
∵PD=AB，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}$AP•AB，
∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴PB：AB=AP：PB，
即PB²=AP•AB，
∴S_△PCB=S_△PAD．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫作把线段AB黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了旋转的性质．