Question

6．如图，P是反比例函数y=$\frac{9}{2x}$（k＞0）第一象限的图象上的一点，则P到原点的最小距离为3．

Answer 1

分析 设P（x，y），则y=$\frac{9}{2x}$，利用勾股定理得到OP²=x²+y²=x²+$\frac{81}{4{x}^{2}}$，再根据不等式公式得x²+$\frac{81}{4{x}^{2}}$≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{81}{4{x}^{2}}}$，所以OP²≥9，于是可判断OP的最小值为3．

解答 解：设P（x，y），则y=$\frac{9}{2x}$，
所以OP²=x²+y²=x²+$\frac{81}{4{x}^{2}}$，
∵x²+$\frac{81}{4{x}^{2}}$≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{81}{4{x}^{2}}}$，
∴OP²≥9，
∴OP≥3，
∴OP的最小值为3．
即P到原点的最小距离为3．
故答案为3．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0，当a=b时取等号）．