Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA

与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE。

（1）求证：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴AC⊥BC。

∵DC=CB，∴AD=AB。∴∠B=∠D。

（2）设BC=x，则AC=x－2，

在Rt△ABC中，，

∴，解得：（舍去）。

∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E。∴CD=CE。

∵CD=CB，∴CE=CB= 。

（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D。

（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，，可得方程：，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长。