Question

【题目】已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2+2k＝0．

（1）求证：k取任何实数值，方程总有不相等的实数根；

（2）若等腰△ABC的周长为14，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）k=4 或．

【解析】

(1)、根据题意得出a、b、c的值，然后求出△=b2-4ac的值，从而得出方程的解的个数；(2)、首先根据方程的解法求出x1=k，x2=k+1，设b=k，c=k+2，根据等腰三角形的性质进行分类讨论，从而得出k的值．

(1)、证明: ∵a=1，b=-2（k+1），c=k2+2k，∴△=b2-4ac=[-2（k+1）]2-4（k2+2k）=4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

(2)、解：原方程x2－2(k＋1)x＋k2+2k＝0．解得：x1=k，x2=k+1,

∵b,c恰好是方程的两个根，∴设b=k，c=k+2， ∵方程有两个不相等的实数根；∴b≠c，

①、当b为腰时，则2b+c=14，∵c-b=2， ∴b=4,c=6， 即k=4

②、当c为腰时，则2c+b=14，∵c-b=2， ∴b=，c=， 即k=

综上所述：k=4 或．