Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（

25

3

，0）、点B（0，

25

4

）．
（1）求直线l的函数解析式．
（2）若给定点M（5，0），若存在直线l上的两点P、Q，使得以P，Q，O为顶点的三角形与△OMP全等，求这样的P点有几个？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得一次函数解析式；
（2）分类讨论：当OP平分∠QOM时，△OMP≌△OQP，可得OM=OQ，根据自变量的值，可得相应的函数值；当OA=PA，OM=PQ时，△OMP≌△PQO，可得PF=OE=5，根据函数值，可得相应自变量的值；当OA=AP，OM=PQ时，△OMP≌△PQO，根据AAS，可得△OEA≌△PFA，可得PF的值，根据函数值，可得相应自变量的值．

解答：解：（1）设直线l的函数解析式为y=kx+b，
把点A（

25

3

，0）、点B（0，

25

4

）代入解析式y=kx+b，
解得：k=-

3

4

，b=

25

4

．
故直线l的函数解析式为y=-

3

4

x+

25

5

；
（2）有三个；
①如图1，作OQ⊥AB，

S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OQ．
∴OM=5，
∴OQ=OM．
当OP平分∠QOM时，△OMP≌△OQP，此时PM⊥OA．
把x=5代入y=-

3

4

x+

25

5

，得y=

5

2

．
∴P₁（5，

5

2

）．
②如图2，当OA=PA，OM=PQ时，△OMP≌△PQO，
过O作OE⊥AB于点E，过P作PF⊥OA于点F．

∴△OEA≌△PFA．
∴PF=OE=5．
把 y=5代入y=-

3

4

x+

25

5

，得x=

5

3

．
∴P₂（

5

3

，5）；
③如图3，当OA=AP，OM=PQ时，△OMP≌△PQO．
过O作OE⊥AB于点E，过P作PF⊥OA于点F．

∴△OEA≌△PFA．
PF=OE=-5．
把y=-5代入y=-

3

4

x+

25

4

，得，x=15．
∴P₃（15，-5）．
综上所述，所有符合条件的点P的坐标为P₁（5，

5

2

），P₂（

5

3

，5），P₃（15，-5）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，分类讨论是解题关键．