Question

如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为M，已知A（-1，0）．
（1）则顶点M的坐标为

 

；
（2）当y＞0时，试写出x的范围，并求A、B两点间的距离；
（3）在抛物线曲线段BMC上有一动点D，求四边形OBDC面积的最大值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）把A点坐标代入可求得二次函数的解析式，可求得顶点坐标；
（2）可先求得A、B两点的坐标，根据图象可写出满足条件的x的取值范围，可求得AB的距离；
（3）根据题意可知△BOC面积不变，所以当D点离BC越远则△BCD的面积越大，可平移直线BC，当直线与抛物线只有一个交点时，交点即为D，再求其面积即可．

解答：解：
（1）∵抛物线过A点，
∴1-b-3=0，解得b=-2，
∴抛物线为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标为（1，-4），
故答案为：（1，-4）；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y=x²-2x-3，
令y=0可得x²-2x-3=0，解得x=3或x=-1，
∴当y＞0时，x＜-1或x＞3，
且A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4；
（3）由题意可知C（0，-3），B（3，0），
可设直线BC解析式为y=kx-3，把B点坐标代入可求得k=1，
∴直线BC解析式为y=x-3，
把直线BC向下平移，得到直线B′C′，可设直线B′C′的解析式为y=x+m，
∵△BOC面积不变，
∴当D点离直线BC越远，四边形OBDC的面积越大，
∴当直线B′C′与抛物线只有一个交点时，交点即为D点，
联立直线B′C′和抛物线的解析式，消去y可得x²-3x-3-m=0，
根据题意可知△=0，即9+4（3+m）=0，解得m=-

21

4

，
代入可求得x=

3

2

，∴D为（

3

2

，-

19

4

），
如图，过D作DE⊥y轴于点E，则OE=

19

4

，DE=

3

2

，CE=

7

4

，

∴S_{四边形OBDC}=S_梯形OBDE-S_△CDE=

1

2

（OB+DE）OE-

1

2

DE•CE=

1

2

×（3+

3

2

）×

19

4

-

1

2

×

3

2

×

7

4

=

75

8

，
综上可知四边形OBDC的最大值为

75

8

．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数与一元二次方程的关系数、函数的交点等问题，掌握待定系数法求函数解析式的关键是求得点的坐标，在（3）中确定出四边形OBDC面积最大时的点D的位置是解题的关键．