Question

如图，△ABC中，O为△ABC的外心，I为△ABC的内心，设∠BOC=y₁°，∠BIC=y₂°，∠A=x°（∠BOC≤180°）．
（1）试分别写出y₁，y₂与x之间的函数关系式；
（2）根据∠A的取值范围的不同，试比较y₁，y₂之间的大小关系．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,三角形的外接圆与外心

专题：

分析：（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠A与∠BOC的数量关系；根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理确定∠A与∠BIC的数量关系．
（2）根据（1）中的数量关系消去∠A即可得到两角之间的关系．

解答：解：（1）如本题图，∠A为⊙O中

BC

所对的圆周角，由圆周角定理得∠A=

1

2

∠BOC．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC=

1

2

∠ABC，∠ICB=

1

2

∠ACB．
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A．
∵∠BOC=y₁°，∠BIC=y₂°，∠A=x°，
∴y₁=2x，y₂=

1

2

x+90；
（2）由（1）得∠BIC=90°+

1

2

∠A=90°+

1

2

×

1

2

∠BOC=90°+

1

4

∠BOC，
即∠BOC和∠BIC的关系是∠BIC=90°+

1

4

∠BOC．
即y₂=

1

4

y₁+90．
∵∠BOC≤180°，
∴y₁＞y₂．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心以及三角形的外接圆和外心，是一道关于角的计算性的题目，难度中等．