Question

9．如图，细心观察图形，认真分析各式，然后再解答问题．${（\sqrt{1}）}^{2}$+1=2，S₁=$\frac{\sqrt{1}}{2}$${（\sqrt{2}）}^{2}$+1=3，S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$${（\sqrt{2}）}^{2}$+1=4，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律（$\sqrt{n}$）²+1=n+1，S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$．
（2）推算出OA₁₀的长为$\sqrt{10}$．
（3）求S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值．

Answer 1

分析 （1）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就是$\sqrt{n}$，然后利用面积公式可得．
（2）由同述OA₂=$\sqrt{2}$，0A₃=$\sqrt{3}$…可知OA₁₀=$\sqrt{10}$．
（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值就是把面积的平方相加就可．

解答 解：（1）依题意得：（$\sqrt{n}$）²+1=n+1，S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$．
故答案是：${（\sqrt{n}）^2}+1=n+1，{S_n}=\frac{{\sqrt{n}}}{2}$；

（2））∵OA₁=$\sqrt{1}$，OA₂=$\sqrt{2}$，OA₃=$\sqrt{3}$，…
∴OA₁₀=$\sqrt{10}$．
故答案是：$\sqrt{10}$；

（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²
=（$\frac{\sqrt{1}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+…+（$\frac{\sqrt{10}}{2}$）²，
=$\frac{1}{4}$（1+2+3+…+10）
=$\frac{55}{4}$．

点评 本题考查了勾股定理．此题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．千万不可盲目计算．