Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+5交x轴于A，交y轴于B，点P（0，1），过BP的中点C作OA的平行线交AB于D．
（1）∠BAO的度数为______，BC的长为______，点D的坐标为______；
（2）点F是线段BC上任意一点，DH⊥DF交AO于H，求值；
（3）在线段OA、AD、DC是否分别存在一个点M、N、E，使四边形PMNE为正方形，若存在，求点M、N、E的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在直线y=x+5中，令x=0，则y=5，即B（0，5）；令y=0，则x=-5，即A（-5，0）．
∴OA=OB，
∴∠BAO=45°．
∵P（0，1），
∴BP=4，
又C是BP的中点，
∴BC=2．
∵CD∥OA，
∴∠BDC=∠BAO=45°，
∴CD=BC=2，即点D的横坐标是-2，
把x=-2代入y=x+5中，得y=3，
则D（-2，3）．
故答案为∠BAO=45°，BC=2，D（-2，3）．

（2）作DQ⊥AO于Q，得到矩形DQOC，则DQ=OC，FDC=∠HDQ，
∴△FDC∽△HDQ，
∴==；

（3）存在，△MOP≌△PCE，得OM=PC=2，CE=OP=1，
∴M（-2，0），E（-1，3）
方法一：将线段PE平移至MN，所以点N的坐标为（-3，2），则四边形PMNE为正方形，由坐标可验证点N在直线AD上．
方法二：作NN₁⊥AO于N₁，得△NN₁M≌△MOP可求点N（-3，2），验证N在直线AB上．
方法三：延长NM交y轴于F，在△MPF中，可求点F（0，-4），直线MF的解析式为y=-2x-4交直线y=x+5得N（-3，2），然后验证四边形PMNE为正方形．
分析：（1）根据直线y=x+5求得点A和点B的坐标，不难发现等腰直角三角形AOB，从而求得∠BAO=45°，根据OP=1，求得BP=4，进而求得BC=2，根据平行线的性质得到三角形BCD也是等腰直角三角形，则CD=BD=2，即点D的横坐标是-2，再进一步根据直线解析式求得点D的纵坐标；
（2）作DQ⊥AO于Q，得到矩形DQOC．则DQ=OC，FDC=∠HDQ，根据两个角对应相等得到△FDC∽△HDQ，再根据相似三角形的对应边的比相等求解即可；
（3）根据正方形的性质和直线的解析式求得点M、N、E的坐标即可．
点评：此题综合考查了直线和坐标轴的交点、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及正方形的性质．