Question

已知如图：抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

Answer 1

分析：（1）先令y=0求出x的值即可得出AB两点的坐标；再令x=0，求出y的值即可得出C点坐标；
（2）根据B、C两点的坐标用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据AP∥CB，A（-1，0）可得出直线AP的解析式，故可得出点P的坐标，有两点间的距离公式可求出AP及BC的长，再根据OB=OC=OA，∠BOC=90°可知△ABC是等腰直角三角形，即AC⊥BC，再由梯形的面积公式即可得出结论．

解答：解：（1）∵令y=0，则x=±1，令x=0，则y=-1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），

（2）设过B、C两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（1，0），C（0，-1），
∴

k+b=0 b=-1

，解得

k=1 b=-1

，
∴直线BC的解析式为y=x-1，
∵AP∥CB，A（-1，0），
∴直线AP的解析式为：y=x+1，
∴

y=x+1 y=x2-1

，解得

x=-1 y=0

或

x=2 y=3

，
∴P（2，3），
∴AP=

(2+1)2+32

 =3

2

，
∵OB=OC=OA，∠BOC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，即AC⊥BC，
∴四边形ACBP是直角梯形，
∵AC=BC=

12+(-1)2

=

2

，
∴S_{四边形ACBP}=

1

2

（BC+AP）×AC=

1

2

（

2

+3

2

）×

2

=4．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线与坐标轴的交点、用待定系数法求一次函数的解析式、直角梯形的判定等相关知识，难度适中．