Question

4．（1）先化简，再求值：$\frac{{x}^{2}-2x}{x-1}$-$\frac{1}{1-x}$，其中x=2015．
（2）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC，点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面的距离为2米，OC=8米．
①请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（需要画出你建立的直角坐标系）
②为了安全美观，现需要在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省时的点P？请写出找法．（无需证明）（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）

Answer 1

分析 （1）根据分式加减的法则化简即可．
（2）①以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为y=ax²，又由点A在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式；
②延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，连接BD交OC于点P，则点P即为所求；

解答 解：（1）$\frac{{x}^{2}-2x}{x-1}$-$\frac{1}{1-x}$=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-1}$+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x-1}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x-1}$=x-1，
把x=2015代入，原式=2015-1=2014．
（2）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，
设抛物线的函数解析式为y=ax²，
由题意知点A的坐标为（4，8）．
∵点A在抛物线上，
∴8=a×4²，
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴所求抛物线的函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²；
（2）作法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，
则点A、D关于OC对称．
连接BD交OC于点P，则点P即为所求．

点评 （1）考查了分式的化简求值，熟练掌握分式加减的法则是解决问题的关键．
（2）此题考查了二次函数的实际应用问题．解此题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数解题．