Question

12．由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖，某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．若一年内该产品的售价y（万元/台）与月份x（1≤x≤12且为整数）满足关系式：y=$\left\{\begin{array}{l}-0.05x+0.4（1≤x＜4）\\ 0.2（4≤x≤12\end{array}）$，一年后，发现这一年来实际每月的销售量p（台）与月份x之间存在如图所示的变化趋势．
（1）求实际每月的销售量p（台）与月份x之间的函数表达式；
（2）全年中哪个月份的实际销售利润w最高，最高为多少万元？

Answer 1

分析 （1）要根据自变量的不同取值范围，运用待定系数法分段计算出p与x的函数关系式；
（2）可根据实际销售利润=单件的利润×销售的数量，然后根据题目中给出的售价与月次的函数式以及（1）中销售量与月次的关系式，得出实际销售利润与月次的函数关系式，根据自变量的不同的取值范围分别进行讨论，然后找出最高售价．

解答 解：（1）p=$\left\{\begin{array}{l}{-5x+40（1≤x＜4且x为整数）}\\{2x+12（4≤x≤12且x为整数）}\end{array}\right.$，
（2）①当1≤x＜4时，
w=（-0.05x+0.4-0.1）×（-5x+40）
=$\frac{1}{4}$（x-6）（x-8）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{7}{2}$x+12
∵a=$\frac{1}{4}$＞0，-$\frac{b}{2a}$=7＞4，
∴当1≤x＜4时，w随x的增大而减小，
∴当x=1时取得w的最大值为：
$\frac{1}{4}$×1²-$\frac{14}{4}$×1+12=8.75 （万元）．
②当4≤x≤12时，
w=（0.2-0.1）×（2x+12）=$\frac{1}{5}$x+$\frac{6}{5}$
∵k=$\frac{1}{5}$＞0，∴当4≤x≤12时，w随x的增大而增大，
∴当x=12时取得w的最大值为3.6：
$\frac{1}{5}$×12+$\frac{6}{5}$=3.6 （万元）．
综上得：全年中1月份的实际销售利润w最高为8.75万元．

点评 本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，由此看来一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．