Question

15．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于点C，D，连接AO并延长交PB的延长线于点F．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则$\frac{OA}{OF}$的值是$\frac{5}{13}$．

Answer 1

分析 根据切线长定理易得PA=PB，CA=CE，DE=DB，再由△PCD的周长等于3r，即可求出PB的长，连接OB，首先证明△FBO∽△FAP，由相似三角形的性质可得$\frac{OB}{AP}$=$\frac{BF}{AF}$，设AF=x，OF=y，则$\frac{r}{\frac{3}{2}r}$=$\frac{x}{r+y}$，再在Rt△BFO中，OF²=OB²+BF²，即y²=x²+r²②，由①②可得x和r的关系，进而可求结果．

解答 解：∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长=PA+PB=2PA=3r，
∴PA=$\frac{3}{2}$r，
连接BO，
∵PA，PB切⊙O于A，B两点，
∴∠OBF=∠FAP=90°，
∴∠F+∠P=90°，∠F+∠BOF=90°
∴∠BPA=∠BOF，
∴△FBO∽△FAP，
∴$\frac{OB}{AP}$=$\frac{BF}{AF}$，
设BF=x，OF=y，
∴$\frac{r}{\frac{3}{2}r}$=$\frac{x}{r+y}$①，
在Rt△BFO中，OF²=OB²+BF²，
即y²=x²+r²②，
∴x=$\frac{12}{5}$r，y=$\frac{13}{5}$r，
∴$\frac{OA}{OF}$=$\frac{5}{13}$．

点评 本题考查了切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理，连接OB，构造直角三角形是解题的关键．