(1)将矩形OABC放在平面直角坐标系中.顶点O为原点.顶点C.A分别在x轴和y轴上.OA=8.OC=10.点E为OA边上一点.连结CE.将△EOC沿CE折叠．①如图1.当点O落在AB边上的点D处时.求点E的坐标,②如图2.当点O落在矩形OABC内部的点D处时.过点E作EG∥x轴交CD于点H.交BC于点G.设H(m.n).求m与n之间的关系式,(2)如图3.将矩形OABC变为边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．（1）将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=10，点E为OA边上一点，连结CE，将△EOC沿CE折叠．
①如图1，当点O落在AB边上的点D处时，求点E的坐标；
②如图2，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于点G，设H（m，n），求m与n之间的关系式；
（2）如图3，将矩形OABC变为边长为10的正方形，点E为y轴上一动点，将△EOC沿CE折叠．点O落在点D处，延长CD交直线AB于点T，若$\frac{AE}{AO}$=$\frac{1}{2}$，求AT的长．

分析（1）根据翻折变换的性质找出相等的线段，证明△EAD∽△DBC，根据相似三角形的性质得到成比例线段，代入求值即可；
（2）证明△EDH≌△CGH，得到DH=HG，在Rt△EDH中，根据勾股定理列出关于m、n的式子，整理得到答案；
（3）根据$\frac{AE}{AO}$=$\frac{1}{2}$，得到AE=EO，证明Rt△EDH≌Rt△CGH，得到TA=TD，根据勾股定理列式求值．

解答解：（1）由题意得，DE=OE，CD=OC=10，
在Rt△DBC中，BC=OA=8，CD=10，
由勾股定理得，BD=6，
∵∠A=∠EDC=∠B=90°，
∴△EAD∽△DBC，
∴$\frac{AE}{DB}$=$\frac{DE}{CD}$，即$\frac{AE}{6}$=$\frac{8-AE}{10}$，
解得，AE=3，则OE=5，
∴E（0，5）；
（2）由题意得，DE=OE=n，EH=m，HG=10-m，
在△EDH和△CGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CGH}\\{∠DHE=∠GHC}\\{DE=GC}\end{array}\right.$，
∴△EDH≌△CGH，
∴DH=HG=10-m，
在Rt△EDH中，DE=n，EH=m，DH=10-m，
由勾股定理得m²=n²+（10-m）²，
整理得m=$\frac{1}{20}$n²+5；
（3）如图3，连接ET，
∵$\frac{AE}{AO}$=$\frac{1}{2}$，∴AE=EO，
在△EAT和△EDT中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=ED}\\{ET=ET}\end{array}\right.$，
∴Rt△EDH≌Rt△CGH，
∴TA=TD，
在Rt△TBC中，CT=10+AT，BT=10-AT，BC=10，
由勾股定理得，（10+AT）²=（10-AT）²+100，
解得AT=$\frac{5}{2}$．

点评本题考查的是翻折变换的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，灵活运用性质和定理，找准翻折变换对应的线段和角是解题的关键．

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