Question

20．在正方形ABCD中，M、N分别是边CD、AD的中点，连接BN，AM交于点E．求证：AM⊥BN．

Answer 1

分析 先根据SAS证明△ABN≌△DAM，得出对应角相等∠ABN=∠DAM，再根据角的互余关系即可得出∠AEB=90°，证出AM⊥BN．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAN=∠ADM=90°，
∵M、N分别是边CD、AD的中点，
∴AN=$\frac{1}{2}$AD，DM=$\frac{1}{2}$CD，
∴AN=DM，
在△ABN和△DAM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}&{\;}\\{∠BAN=∠ADM}&{\;}\\{AN=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴∠ABN=∠DAM，
∵∠DAM+∠BAE=90°，
∴∠ABN+∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AM⊥BN．

点评 本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得出角相等是解决问题的关键．